La gravitation simplifiée




1. Un univers stable
2. Des astres soumis à aucune force
3. Le champ de gravitation
4. La courbure de l'univers
5. Explication de la formule d'Einstein

1. Un univers stable

L’univers est un monde de violence.

Des étoiles naissent d’autres meurent, les implosions, les explosions, les déchirements sont les évènements courants de ces espaces infinis dont nous parlait Pascal. C’est à coups d’effondrements gravitationnels, d’agrégation de matières, d’accrétion, de rayonnements magnétiques, nucléaires ou lumineux que l’acte créatif se manifeste et se perpétue sur une échelle du temps et des distances qui dépasse notre entendement et que nous qualifions pudiquement de cosmique pour oublier l’effroi qui nous étreint devant l’infini.

Mais ces milliards et même milliards de milliards d’astres ne comblent pas l’immensité de l’univers qui reste obstinément vide, obscur et silencieux. L’opposition est radicale entre l’énorme énergie libérée, dépensée et recomposée des astres et ce vide sidéral où les planètes tournent sans cesse autour des étoiles, où les météorites et les astéroïdes filent des trajectoires parfaitement définies, identifiées sans qu’aucune modification ne vienne perturber les prévisions. Ce monde là, c’est celui du répétitif, de la périodicité, de l’immuable.

2. Des astres libres

C’est ici qu’il nous faut commencer à réfléchir.
Comment se fait-il que la terre tourne autour du soleil de la même manière depuis plus de quatre milliards d’années ?
Comment se fait-il qu’il en soit de même pour la lune autour de la terre ?
Pourquoi la comète de Haley revient-elle fidèlement tous les 76 ans dans la banlieue terrestre ?
Tout semble inaltérable, inébranlable, perpétuel et pire encore, prédictible.
D’où leur vient cette énergie inépuisable qui semble défier la mort ?

Poser la question, c’est y répondre. Il n’y a pas d’énergie nécessaire au déplacement des astres parce qu’il n’y a pas de force à vaincre. Les astres persistent sur leur trajectoire, n’en dévient pas parce qu'aucune force ne vient changer cette trajectoire. Il suivent ainsi leur trajectoire comme un objet pesant qui tombe vers la terre. Ils ne consomment pas d’énergie, ils n’effectuent aucun travail physique. Ils tombent à l'image de ces parachutistes qui ne ressentent aucune force mais qui tombent.
Que ce soit des masse pesantes comme les étoiles ou le plus petit insecte sur la terre, que ce soit les ondes de masse nulle comme la lumière ou les ondes électromagnétiques qui nous entourent, tous se déplacent dans un champ, tous sont piégés dans ce champ, le champ de gravitation.
Mais qu'est ce qu'un champ ?

3. Le champ de gravitation

Le mot a été choisi intentionnellement pour nous rappeler qu’un champ physique ressemble d’abord à un champ de lavande, de colza, de blé ou de fleurs. C’est une étendue ouverte où en chaque point est attachée une valeur caractéristique de la gravité de la même façon que sur chaque parcelle d'un champ nous pouvons planter une fleur. Le champ gravitationnel et le champ de tournesols, c’est du pareil au même. Les deux se définissent localement mais ne valent que globalement. La gravité en un point est plus ou moins forte selon les masses (des astres) qui environnent ce point. Elle peut devenir évanescente dans les régions vides de toute masse pesante comme se renforcer dans les régions où la matière est dense. Comme tous les objets célestes se déplacent (la lune autour de la terre, la terre autour du soleil, le soleil autour du centre de la voie lactée, etc..), les alentours d'un point donné de l'espace (en réalité de l'espace-temps) évoluent dans le temps. Nous pouvons donc poser deux grandes caractéristiques du champ gravitationnel :
1/ Il se définit localement.
2/ Il varie avec le temps.

Interrogeons nous maintenant sur les origines de la gravitation : pourquoi existe-t-il un champ de gravitation ? Cette question, Newton, père fondateur des équations sur la gravitation, se la posait lui-même et à défaut de savoir y répondre, il faisait acte d’humilité en déclarant : « hypotheses non fingo ». Je ne fais pas d’hypothèses, sous-entendu je ne fais pas d’hypothèses qui ne seraient pas déduites d’un phénomène, je ne fais pas d’hypothèses d’origine divine. Plus de deux cents ans se passèrent sans qu’aucune réponse ne soit formulée.

En 1905, Einstein établit la théorie de la relativité restreinte qui n’a aucun rapport avec la gravitation (si ce n'est qu'elle l'exclut) mais qui va jeter un doute sur la théorie newtonienne. C’est notre savant français le plus célèbre, Poincaré, qui le premier pointa le conflit entre la théorie newtonienne et la relativité restreinte. Pour bien comprendre en quel termes se posait alors la question, il faut se souvenir que la relativité restreinte est un nouveau paradigme qui concerne toute la physique.
Rien ne peut lui échapper. Désormais, toutes les lois de la physique doivent respecter les principes de la relativité restreinte et en particulier, le principe d'une vitesse limite, indépassable : la vitesse de la lumière (300.000 km/s). Or, Poincaré fait remarquer que l'équation de Newton ne fait pas intervenir la vitesse de la lumière, elle présuppose une vitesse infinie.

A l'époque de Newton, la notion de champ n'existait pas, La force de gravitation était une force entre deux corps massifs, par exemple le soleil et la terre ou bien la terre et une pomme pour reprendre l'image d'Epinal bien connue. C'est d'ailleurs une excellente approximation qui rend encore de nombreux services. Pour Newton, cette force d'attraction entre deux astres distants de 150 millions de km est instantanée, la force qu'exerce le soleil sur la terre se déplace à une vitesse infinie. elle contrevient donc au concept de vitesse limite. C'est l'une des raisons qui va conduire Einstein à s'intéresser au sujet. C'est ainsi qu'Einstein entra dans une recherche qui allait durer huit années (septembre 1907-Novembre 1915).
Parmi toutes les découvertes qu'Einstein a faites sur la relativité générale pendant ces huit années, la plus percutante, celle qui a changé notre connaissance de l'univers, celle qui est au fondement de la relativité générale, c'est l'origine de la gravitation. Cette découverte émergea du cerveau d'Einstein en 1912, cinq ans après ses premières réflexions sur le sujet. Elle s'inscrit dans la continuité de plusieurs découvertes antérieures. Il y a dans cette découverte une part d'intuition qui n'est pas restituable. Ce n'est qu'en mettant ses pas dans les pas d'Einstein qu'il est possible de comprendre comment lui est venue cette idée. Mais, ici, dans ce papier, nous voulons moins expliquer qu'éveiller. Nous allons donc sauter plusieurs étapes sachant qu'il est toujours possible d'entrer dans le dédale du cerveau d'Einstein.

4. La courbure de l'univers

Dès le début de ses recherches, en 1907, Einstein remarque qu'un rayon lumineux est courbé par un champ gravitationnel. Il en restera là pendant plus de trois années. En 1911, Einstein démontre qu'un rayon lumineux passant à proximité du soleil suit une trajectoire courbe. Il ne lachera plus l'affaire. Pour lui, c'est définitif, il existe un lien entre la gravité et la courbure. Il mûrira longuement cette idée pendant le printemps 1912 avant de faire un saut conceptuel pas du tout évident :

ce n'est pas le rayon lumineux qui se courbe à proximité du soleil, c'est l'espace-temps lui-même.

L'idée était pour le moins audacieuse, elle allait se révéler révolutionnaire.
Dans l’espace plan euclidien de notre jeunesse, de nos jubilations géométriques et parfois de nos cauchemars aussi, la lumière file tout droit, sa vitesse ne varie pas, sa direction non plus en vertu du principe de la relativité restreinte qui postule que la vitesse de la lumière est absolue et universelle.
Comment peut-on alors expliquer que la lumière suive une trajectoire courbe ? Avec ce type de paradoxe qui peut faire tourner en bourrique une assemblée de grands esprits, seul le bon sens peut nous mettre sur la voie. Allons interroger un de ces paysans du sud de la France avec un béret vissé sur la tête, un accent chantant, une voix tonitruante qui crache les vérités les plus sensées qu'aucun homme scientifique et encore moins politique n'aurait trouvées.
Notre homme nous amènera au bord d'un rivière où il aura probablement passé une grande partie de sa vie à pécher, mais aussi à regarder le paysage et les méandres de sa rivière.
Il nous répondra ainsi : "Si la question est de savoir pourquoi la lumière dotée d'un vitesse absolue peut suivre une courbe au lieu d'une droite, la réponse est simple". Il n'en rajoutera pas plus, il jettera un bout de bois au milieu de la rivière et en suivra la course.
Le flux de la rivière transportera le bout de bois et au premier méandre incurvera sa trajectoire afin qu'elle suive les sillons du courant.
La voix de stentor de notre paysan du Danube ou de la Garonne s'élèvera : "Alors, vous avez la réponse à votre question ?"
- Euh, pas exactement.
- Mais où est-ce qu'elle flotte votre lumière ?
- Dans l'espace.
- Et bien, courbez l'espace, mon ami. La lumière pousuivra sa trajectoire en suivant la courbe de l'espace qui est la trajectoire du moindre effort.
Ce n'est probablement pas ainsi qu'Einstein trouva la solution mais ce n'en est pas loin. Ainsi donc :

Gravitation et courbure de l'univers, c'est la même chose.

Mais il nous faut aussitôt rectifier ce qui vient d'être dit. Rappelons-nous qu'espace et temps sont liés (voir relativité restreinte). Il nous faut désormais considérer la notion d'espace-temps. Ce n'est donc pas l'espace qui est déformé mais l'espace-temps. Or l'espace-temps se déploie sur 4 dimensions et sa représentation géométrique n'est pas appréhendable par les simples terriens que nous sommes qui vivent dans un espace à 3 dimensions. Il va falloir biaiser pour avoir une bonne représentation d'un espace-temps courbe.
Tout corps se déplaçant librement, c'est-à-dire sous aucune influence (absence de force) ne fait que suivre la trajectoire la plus courte. Dans un espace courbe, cette trajectoire n'est pas une ligne droite. Pour s'en convaincre, rappelons simplement, que le trajet suivi par un avion qui relie Paris à Los Angeles passe par le pôle nord. La terre est sphérique, ses lignes les plus courtes ne sont pas toujours des droites. Les lignes suivies par tous les corps se déplaçant librement dans un espace courbe s'appellent des géodésiques. Les géodésiques sont les routes de l'univers. La terre, la lune, les météorites, les astéroïdes, les comètes, mais aussi les corps en chute libre comme nos parachutistes ou la pomme de Newton, tous suivent une géodésique.
C'est ainsi que la terre suit une géodésique qui l'ammène irrésistiblement vers le soleil. Elle tombe vers le soleil. Oui, la terre tombe, mais heureusement pour nous, quand elle fut captée par le champ de gravitation solaire, il y a près de 4,5 milliards d'années, la terre était dotée d'une vitesse initiale qui l'a positionnée sur la géodésique qui annulait les forces en présence (force centrifuge provoquée par la vitesse et force d'attraction du soleil). Depuis la terre n'en finit pas de tourner. C'est vrai pour toutes les planètes, c'est aussi vrai pour les satellites (à l'exception près que les satellites d'observation comme les satellites géostationnaires subissent des forces de frottement qui tendent à modifier leur orbite).

En conclusion, la gravitation n'est rien d'autre que la courbure de l'espace-temps et cette courbure est due à la matière qui peuple l'univers. En chaque point de l'espace-temps, il est possible de définir la courbure et, en conséquence, le potentiel de gravitation. Ces potentiels de gravitation définissent à leur tour les lignes géodésiques sur lesquelles les corps peuvent se déplacer (voir image ci-dessus). Il est possible de le dire bien mieux en citant la phrase de John Wheeler : La matière dit à l'espace de se courber et l'espace dit à la matière comment se déplacer

Donnons quelques grandeurs physiques de cette courbure de l'espace-temps pour en saisir la réalité si difficile à appréhender pour nos esprits cartésiens trop habitués à un espace plat pour découvrir un espace-temps courbe.
Le soleil tient les planètes en orbite parce que la déformation de l'espace-temps provoquée par la masse du soleil se propage sur des milliards de km jusqu'à la plus lointaine des planètes, uranus.
Cette déformation s'estompe progressivement avec l'éloignement selon une loi en 1/d2 où d est la distance entre le soleil et le point considéré.
La déformation est maximale au niveau du soleil et nulle à l'infini et l'infini. Les deux représentations ci-dessus nous laissent penser qu'un corps pesant s'enfonce dans l'espace qui l'environne. C'est souvent cette image qui est donnée pour expliquer simplement la gravitation. Mais cette représentation est imparfaite, elle nous montre la courbure de l'espace mais pas celle de l'espace-temps qui est la seule qui vaille. Si nous voulons appréhender visuellement la courbure de l'univers en un point particulier de l'espace où se trouve un corps pesant (le soleil, la terre, la lune, une étoile très dense) nous pouvons comparer le rayon d'un cercle dans l'espace plat euclidien avec le rayon de ce même cercle dans un espace courbe.

Dans un espace euclidien, la circonférence du cercle est égale à P = πD (P: périmètre, D: diamètre)
Dans un espace courbe, si nous tirons depuis le centre des rayons dans toutes les directions, nous obtenons un cercle. La circonférence de ce cercle est inférieure à πD : P< πD. La raison en est que le diamètre du cercle suit dans chaque direction la courbure de l'espace, il est donc plus grand dans l'espace courbe que dans l'espace plat, donc le périmètre est plus petit que le produit de π par D.

Pour la terre, la différence entre le diamètre "relativiste et le diamètre "euclidien" est de l'ordre de 4 mm.
Pour le soleil, cette différence s'élève à environ 4 km (pour un diamètre de 1,4 millions de km).
Pour une étoile à neutron très massive, d'une masse identique à celle du soleil avec un diamètre de 20 km seulement, la différence s'élève à près de 1 km.

L'espace-temps peut être qualifié de flexible ou d'élastique.

Nous terminons cette courte présentation de la gravitation (ou pesanteur) - dans laquelle nous nous sommes efforcés de ne pas simplifier abusivement - par une explication courte de la fameuse équation d'Einstein découverte après huit années de reflexion et de transpiration.

5. L'explication de la formule d'Einstein

Voici l'équation sous sa forme la plus synthétique :

Cette équation donne en tout point de l'univers la valeur de la gravité en fonction des masses et de l'énergie qui se trouvent dans sa proximité. Par exemple, nous pouvons calculer la gravité autour du soleil, de la terre, de la lune. Ce que Newton savait faire déjà, mais depuis Einstein a prouvé l'équivalence entre la gravité et la courbure de l'espace temps : gravité et courbure sont une seule et même chose. C'est exactement la signification du membre de gauche de l'équation. Le "G" représente à la fois la gravité en un point donné et la géométrie en ce même point. Le membre de droite contient la densité de matière et l'énergie liées à la masse par la fameuse équation de la relativité restreinte :

E = mc2

Mais l'équation de la relativité générale (dite "équation du champ") reste opaque. Il nous faut comprendre les indices i et j.
Nous savons que l'équation est locale, elle s'applique à chaque point de l'espace temps, il faut donc définir chaque point par ses coordonnées dans un espace temps à 4 dimentions, trois pour l'espace (x, y, z) et un pour le temps. Donc l'indice varie de 1 à 4 (ou de 0 à 3).
Mais pourquoi avons nous 2 indices distincts i et j ?
C'est là où se complique cette équation mathématique. C'est la conséquence directe de l'utilisation d'un espace-temps courbe. Il est nécessaire de définir, non pas un point de l'espace-temps courbe (ce qui ne nécessite qu'un seul indice), mais aussi les caractéristiques géométriques de l'espace en chaque point, en d'autres termes la déformation de l'espace en chaque point. Le grand mathématicien Gauss avait expliqué la façon de faire : il faut imaginer ponctuellement un point doté de 2 petits vecteurs indépendants dans des directions perpendiculaires, chaque vecteur ayant 4 composantes. Le premier vecteur a pour composante i, le second j.
Faisons un pas de plus dans l'explication de la formule. Les expressions G et T de l'équation sont des entités mathématiques nommées tenseur, un super vecteur. De la même façon qu'il existe des équations scalaires (3x+1=2), des équations vectorielles (2Vi = Wi), il existe aussi des équations tensorielles comme l'équation de la relativité générale.
Cette équation se décline en 16 composantes que l'on obtient en faisant varier les indices i et j de 1 à 4 pour les deux tenseurs G et T. Par exemple : G11, G12, G13, G14, G21, jusqu'à G44. .

Mais par application directe d'une loi que tout le monde connait, pour certains sans le savoir, nous pouvons réduire ce nombre à 10 équations. Rien n'est plus simple.
En effet, sans entrer dans des explications détaillées, les tenseurs de la relativité générale sont commutatifs. Gij = Gji comme 9x5 = 5x9. En conséquence, l'équation d'Einstein se limite à 10 équations distinctes.

L'expression K = 8πG/c2 est une constante qui fait le lien entre l'équation d'Einstein et celle de Newton. En effet, la découverte d'Einstein s'inscrit dans le prolongement des travaux de Newton. Elle ne remet pas en question l'équation de Newton, Elle la généralise. Dans le cas limite d'un champ de gravitation faible (et statique), Einstein se devait de retrouver la fameuse équation de Newton, la constante placée devant le tenseur énergie-impulsion contribue à satisfaire cette exigence. On notera que l'équation d'Einstein intègre la vitesse de la lumière, conformément au principe de relativité restreinte.

_



Page d'accueil